Logaritmická rovnice

Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních, proto před studováním tohoto materiálu vám doporučuji si přečíst materiál Základní logaritmy, který se nachází na www.nasprtej.cz. 

Obecný tvar: log_ax (čteme: logaritmus z x o základu a)

a – základ logaritmu → a ∈ R⁺ - {1}

x – argument logaritmu → x ∈ R⁺

Vzorce

Vzorce jsou stejné jako pro počítání se základními logaritmy, tudíž by vám již neměly činit větší problémy.

Příklady

Pokud máme takto zadané dva logaritmy, které se sčítají, pak musíme použít vzoreček log_a (r . s) = log_a r + log_a s a následně vzoreček, který se používá snad v úplně každém příkladě s logaritmy –  log_a x = y ⇔ a^y = x. Poté musíme rovnici odmocnit. Neznámá je nejdříve v absolutní hodnotě kvůli tomu, že měla sudý exponent. Je možnost, že by kořen mohl být jak kladný, tak i záporný, proto je důležité pracovat vždy s podmínkami, které často mění konečný výsledek rovnice. Podmínku musíme udělat především tam, kde se nachází neznámá. V našem případě se nalézá v argumentu. Ze základů o logaritmech víme, že argument logaritmu může být pouze kladné číslo. Argument musí být větší než nula, tedy 100x > 0 a 10x > 0. Poté výsledky obou podmínek sjednotíme, čímž nám vyjde, že neznámá musí být kladná (větší než nula), teď už můžeme pokračovat v dopočítání příkladu a absolutní hodnotu odstranit, jelikož záporné číslo nemůže podle podmínky být řešením rovnice. Samotné určení podmínky obvykle není povinné, ale samozřejmě pro správný výsledek je podmínka velmi důležitá, proto je dobré si ji vždy na začátku, popř. na konci příkladu udělat.

Výsledek rovnice zapisujeme ve tvaru – K = {a} – kde místo a dosadíme kořen rovnice.

Tento příklad na první pohled vypadá velmi složitě, ale přitom zde použijeme pouze jeden vzorec, a to log_a x = y ⇔ a^y = x.

Pro lepší představivost je vlevo označeno to, co je podle vzorce neznámá a, x a y.

Následně znovu použijeme výše uvedený vzorec, poté upravíme, tedy převedeme jedničku na druhou stranu, rovnici vydělíme 20 a opět a naposledy použijeme stejný vzoreček, který nás dovedl již ke správnému řešení.

Výsledek rovnice zapisujeme ve tvaru – K = {a} – kde místo a dosadíme kořen rovnice.

Pokud je na obou stranách rovnice logaritmus o stejném základu, tak můžeme rovnici tzv. odlogaritmovat, tedy lze logaritmy vypustit a porovnat pouze jejich argumenty Použili jsme tedy vzoreček log_a x₁ = log_a x₂ ⇔ x₁ = x_2.

Poté dostaneme kvadratickou rovnici, kde stačí vytknout neznámou a poté určit nulové body. Vyšly nám dva body, ale ty nemusí být správným řešením, proto je opět velmi důležité udělat podmínku. Podmínku stačí určit pouze tam, kde se nachází neznámá, tedy v našem případě v argumentech logaritmů. 

Podmínka nám vede na nerovnici kvadratickou. Vyřešíme ji buď dosazením do vzorce pro kvadratickou rovnici, nebo efektivnějším způsobem, což je vytknutí neznámé. Následně určíme nulové body, které zaneseme na osu (prázdná kolečka na ose jsou tam kvůli tomu, že v nerovnici je pouze znaménko nerovnosti bez rovnítka). Body nám rozdělily osu na tři intervaly, první od mínus nekonečna do mínus dvou, druhý od mínus dvou do nuly a třetí od nuly do nekonečna. My se musíme rozhodnout, který z intervalů bude platný. Nejlépe to zjistíme tak, že do nerovnice dosadíme libovolné číslo z daného intervalu a pokud bude platit nerovnost, pak tam celý interval patří, takto budeme postupovat u každého intervalu. Následně zjistíme, že do řešení podmínky patří první a třetí interval, tedy neznámá (x) může být číslo od mínus nekonečna do mínus dvou a od nuly do nekonečna. Po určení podmínky se opět vrátíme k řešení samotné logaritmické rovnice. Vyšly nám dva kořeny, ale pouze jeden se „vejde“ do podmínky. Ten, který splňuje podmínku, je celkovým řešením této rovnice, tedy číslo -5.

Další způsob, jak můžeme řešit rovnice, je použití tzv. substituce. Ta nahrazuje nějaký výraz výrazem, který si zvolíme. Je relativně dost těžké odhadnout, kdy ji použít, ale vždy, když se bude objevovat logaritmus na druhou, tak se velmi pravděpodobně bude jednat o použití substituce. Lze samozřejmě rovnici vyřešit i bez použití této metody, ale pak se výpočet stává dosti nepřehledným, lze tedy pak snáze udělat chybu.

Nejdříve tedy upravíme rovnici na tvar, na který půjde lehce použít substituce. V našem případě je rovnice už hned připravená a jako substituci si zvolíme y = log_0,5 (x+1).

Poté když dosadíme do rovnice námi zvolený výraz, dostaneme obyvkle kvadratickou rovnici, popř. jinou rovnici, kterou už lze počítat bez logaritmů. V našem případě kvadratickou rovnici vypočítáme a následně dostaneme požadované kořeny, které ještě ale NEjsou řešením rovnice. Ty jsou pouze řešení pro substituci. 

Je důležité si vzít substituci, kterou jsme vytvořili, a do ní za y (popř. jinou neznámou, kterou jsme si zvolili místo našeho y) dosadit kořeny rovnice. Následně nám vyjde celkové řešení rovnice, tedy dva kořeny. 

Pak ale ještě musíme zohlednit podmínku rovnice, tedy z jakého intervalu může být daná neznámá. Podmínka se určuje pouze tam, kde se nachází neznámá v zadání, tedy v našem případě podmínka argumentu. Ta ale celkové řešení neovlivnila, tudíž již můžeme oba kořeny zapsat jako výsledek této rovnice.

Výsledek rovnice zapisujeme ve tvaru – K = {a} – kde místo a dosadíme kořen rovnice.

Nejdříve použijeme vzoreček log_a x = y ⇔ a^y = x, čímž dostaneme tvar pro použití vzorečku log_a (r . s) = log_a r + log_a s. Následně dostaneme iracionální rovnici.

Celou rovnici umocníme, čímž po upravení dostaneme kvadratickou rovnici. 

Zkouška

Když dostaneme kořeny rovnice, tak musíme udělat zkoušku pro rovnici, jelikož jsme použili při výpočtu neekvivalentní úpravu (odmocnění apod.). Ve zkoušce nám vyšlo, že řešením rovnice je pouze jeden kořen, tedy číslo 2.

Poslední věc, kterou musíme udělat, je určení podmínky. Podmínku určíme u neznámé ze zadání. Zde je neznámá v argumentu, tudíž celý argument musí být kladné číslo. Jelikož se celý argument nachází v odmocnině, tak je jisté, že číslo, které se odmocní, bude vždy kladné, tudíž argument nikdy nebude záporný – viz podmínky vlevo. Podmínka nám výsledný kořen neovlivnila, tudíž již můžeme do celkového řešení této rovnice zapsat kořen, tedy číslo 2.

Příklady použity z:
PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.