Lineární rovnice s parametrem

Řešte rovnici, kde x ∈ R a parametr p ∈ R:

Rovnici upravíme tak, aby vše, co obsahuje neznámou, bylo na jedné straně a parametr na straně druhé, poté vytkneme neznámou – viz rovnice níže.

Tato část je nejdůležitější! Při „normálním“ řešení rovnice bychom rovnici vydělili výrazem (1+p) a po upravení by nám vyšel nějaký výsledek. Jenže, co kdyby parametr byl -1 a tudíž by závorka (1+p) byla nula! Nulou dělit NELZE!!! Proto se používají tzv. rovnice s parametrem.

2 řešení:

Každá rovnice s parametrem bude mít vždy řešení, kde vydělíme celou rovnici výrazem, který se nachází u neznámé, za předpokladu, že výraz není roven nule. K tomuto jednomu řešení bude dalším řešením tolik řešení, kolik bude parametrů na straně, kde se nachází neznámá.

Celkové řešení:

Do celkového řešení zapíšeme všechny výsledky, které nám vyšly. 

V tomto případě:
Nejdříve jsme počítali případ, kdy p=-1. Vyšlo nám, že řešením této rovnice je celá množina, ze které je daná neznámá, tudíž nekonečně mnoho řešení – viz první zápis celkového řešení. Podívejte se především na tvar, ve kterém se to píše!
V druhém případě jsme počítali, kdy p≠-1. Tudíž, kde p je libovolné číslo z množiny, ze které je daná neznámá kromě mínus jedničky, protože to je jediná výjimka. Proto jsme ji také počítali v předchozím případě! „Pomlčka“ znamená bez (kromě). Vyšlo nám, že K ⊂ {1-p}, tento výsledek zapíšeme ve stejném tvaru, jen změníme „céčko“ na rovnítko.

Řešte rovnici, kde x ∈ R a parametr t ∈ R:

Rovnici upravíme tak, aby vše, co obsahuje neznámou, bylo na jedné straně a parametr na straně druhé, poté vytkneme neznámou – viz rovnice níže.

Tato část je nejdůležitější! Při „normálním“ řešení rovnice bychom rovnici vydělili výrazem (t-1) (t+1) a po upravení by nám vyšel nějaký výsledek. Jenže, co kdyby parametr byl 1 nebo -1, tudíž by závorka (t-1) nebo (t+1) byla nula! Nulou dělit NELZE!!! 

3 řešení:

Každá rovnice s parametrem bude mít vždy řešení, kde vydělíme celou rovnici výrazem, který se nachází u neznámé, za předpokladu, že výraz není roven nule. K tomuto jednomu řešení bude dalším řešením tolik řešení, kolik bude parametrů na straně, kde se nachází neznámá.

Jedním řešením bude dosazení nulového (popř. nulových) bodu parametru, na straně u neznámé, do rovnice – viz řešení a) a b). Druhým řešením bude vždy u každé rovnice s parametrem obyčejná rovnice, kterou jsme „zvyklí“ počítat – tj. vydělení rovnice výrazem, který není roven nule – viz řešení c). 

Celkové řešení:

Do celkového řešení zapíšeme vše, co jsme vypočítali. Nejlepší je se vrátit na začátek příkladu a pomalu se podívat, co jsme dělali jako první, za jakých podmínek, jaký byl výsledek apod. Takto vše zapište do celkového řešení - viz celkové řešení níže.

Řešte rovnici, kde x ∈ R a parametr a ∈ R:

Nejdříve zapíšeme podmínky pro parametr a neznámou a teprve poté můžeme vydělit celou rovnici.

Podmínka:

Po roznásobení a sečtení závorek a výrazů dáme vše, co obsahuje neznámou na jednu stranu a vše ostatní na stranu druhou. Poté si určíme, kolik bude podmínek a to zjistíme tak, že se podíváme, kolik je parametrů na straně, kde je neznámá. Pokud zde bude jeden parametr, tak k němu ještě musíme udělat opačnou podmínku, tudíž budou podmínky dvě, když budou 2 parametry na straně, kde se vyskytuje neznámá, tak budou dvě podmínky a k tomu jedna podmínka k nim opačná – viz rovnice níže.

2 řešení:

Celkové řešení:

Do celkového řešení zapíšeme vše, co jsme v průběhu počítání příkladu vypočítali – tj. zapíšeme všechny výsledky, na které jsme přišli, s podmínkami.

Příklady použity z:
CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia : Rovnice a nerovnice. 3. vydání. Praha : Prometheus, 2002. 223 s. ISBN 80-7196-154-X.