Kvadratická rovnice

obecný tvar: ax² + bx + c = 0

a - koeficient kvadratického členu

ax² - kvadratický člen

b - koeficient lineárního členu

bx - lineární člen

c - absolutní člen

Kvadratická rovnice má vždy 2 kořeny, protože má dva diskriminanty (b² - 4ac). Proto je také v rovnici mezi b a odmocninou ±. Jeden diskriminant bude mít před odmocninou mínus a druhý plus – viz rovnice níže.

Řešte kvadratickou rovnici, kde x ∈ R:

Ze začátku, pro lepší přehlednost, si můžete zapsat, čemu se rovná a, b ac – viz zápis vlevo. Čemu se rovná a, b a c poznáme podle obecného tvaru kvadratické rovnice - ax² + bx + c = 0 . Znaménka mezi ax² a bx, či bx a c jsou v obecném tvaru kladná (+), ale v příkladech mohou být i záporná (-).

Poté už stačí pouze dosadit do vzorce a vypočítat.

V posledním kroku si vzorec napíšeme pro každou neznámou zvlášť – viz rovnice níže.

Řešení kvadratické rovnice zapisujeme ve tvaru: K = {a₁; a₂}  – místo a₁ a a₂ dosadíme výsledné kořeny rovnice.

Řešte kvadratickou rovnici, kde x ∈ R:

Takto na první pohled „obyčejná“ rovnice může vést na rovnici kvadratickou. Nejdříve tyto typy rovnic vypočítáme jako úplně obyčejnou rovnici. Až její výsledek teprve řešíme kvadratickou rovnicí.

Když dostaneme takovýto výsledek rovnice, tak je jasné, že ho musíme dopočítat přes rovnici kvadratickou. Můžeme ji vypočítat dvěma způsoby.

První způsob:

První způsob je dosazení do vzorečku kvadratické rovnice. Tento způsob je velmi pomalý, ale lze ho použít u každého případu, kde se řeší kvadratická rovnice.

2. způsob:

Druhý způsob (rozklad) je velmi rychlý, ale nelze ho použít u každého případu, kde se řeší kvadratická rovnice. Tento způsob Vám vřele doporučuji. Více o tomto způsobu se dozvíte v kapitole Rozklad kvadratických trojčlenů, kterou najdete na www.nasprtej.cz.

Jak vidíte, tak tento postup je krátký a tudíž i velmi rychlý. Samozřejmě, jak u prvního, tak i u druhého způsobu vyšly kořeny rovnice stejně! 

Řešení kvadratické rovnice zapisujeme ve tvaru: K = {a₁; a₂}  – místo a₁ a a₂ dosadíme výsledné kořeny rovnice.

3 možná řešení kvadratické rovnice

  1) Když je diskriminant menší než nula (D < 0), tak rovnice nemá řešení.

Jaký je diskriminant, zjistíme tehdy, když si do diskriminantu (b² - 4ac) dosadíme hodnoty, které máme v zadání rovnice – viz rovnice níže.

Diskriminant je záporný, tudíž rovnice nemá řešení. Můžeme si to samozřejmě ověřit tím, že si hodnoty dosadíme do vzorečku kvadratické rovnice – viz rovnice výše.

  2) Když je diskriminant roven nule (D = 0), tak rovnice má právě jeden kořen.

Diskriminant je roven nule, tudíž rovnice bude mít jeden kořen. Můžeme si to samozřejmě ověřit tím, že si hodnoty dosadíme do vzorečku kvadratické rovnice – viz rovnice níže.

  3) Když je diskriminant rovnice větší než nula (D > 0), tak rovnice má právě 2 kořeny.

Diskriminant je kladný, tudíž rovnice bude mít dva kořeny. Můžeme si to samozřejmě ověřit tím, že si hodnoty dosadíme do vzorečku kvadratické rovnice – viz rovnice níže.

Příklady použity z:
CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia : Rovnice a nerovnice. 3. vydání. Praha : Prometheus, 2002. 223 s. ISBN 80-7196-154-X.